一、矩阵可对角化的判定：从特征值与特征向量出发
1. 基础概念：什么是矩阵的对角化？
一个 n×n 的方阵 A 被称为可对角化（diagonalizable），如果存在一个可逆矩阵 P 和一个对角矩阵 D，使得：
A = PDP⁻¹
其中，D 的对角元素是 A 的特征值，而 P 的列向量是对应的线性无关的特征向量。
因此，对角化的本质是将矩阵在某个基底下表示为对角形式，这极大简化了矩阵幂、指数运算等操作，在机器学习、控制系统和数值计算中具有重要意义。
2. 特征值与特征向量的基本作用
特征值 λ 满足 det(A - λI) = 0，其解构成特征多项式的根。每个特征值 λ 对应的特征向量 x 满足 (A - λI)x = 0，且 x ≠ 0。所有满足该方程的非零向量构成的子空间称为特征空间，其维数即为几何重数。特征值在特征多项式中的重数称为代数重数。
例如，若某特征值 λ 的代数重数为 3，但对应的线性无关特征向量只有 2 个，则其几何重数为 2。
3. 判断矩阵是否可对角化的关键条件
条件类型描述是否充要有 n 个线性无关的特征向量这是矩阵可对角化的充要条件✅ 是所有特征值互异此时必然有 n 个线性无关特征向量❌ 充分但不必要每个特征值的几何重数 = 代数重数等价于存在足够多的线性无关特征向量✅ 是
4. 若一个 n 阶矩阵有 n 个线性无关的特征向量，是否一定可对角化？
答案是肯定的。设 v₁, v₂, ..., vₙ 是 A 的 n 个线性无关的特征向量，对应特征值 λ₁, ..., λₙ（允许重复），构造矩阵：
P = [v₁ | v₂ | ... | vₙ]
由于这些向量线性无关，P 可逆。令 D = diag(λ₁, ..., λₙ)，则有：
AP = PD ⇒ A = PDP⁻¹
这正是对角化的定义。因此，拥有 n 个线性无关特征向量是矩阵可对角化的充要条件。
5. 当存在重根特征值时：如何判断几何重数等于代数重数？
当特征值 λ 的代数重数 k > 1 时，需验证其几何重数 m 是否也等于 k。几何重数 m 定义为齐次方程 (A - λI)x = 0 的解空间维数，即：
m = dim(Nul(A - λI)) = n - rank(A - λI)
具体步骤如下：
求出特征值 λ 及其代数重数 k；构造矩阵 B = A - λI；计算 rank(B)；几何重数 m = n - rank(B)；若对所有特征值均有 m = k，则矩阵可对角化。
6. 实际案例分析：Jordan 块与不可对角化情形
考虑如下矩阵：
A = [[2, 1], [0, 2]]
其特征多项式为 (λ - 2)²，故 λ = 2 的代数重数为 2。解 (A - 2I)x = 0 得：
A - 2I = [[0, 1], [0, 0]] ⇒ 解空间仅由 [1, 0]ᵀ 张成
因此几何重数为 1 < 2，无法找到两个线性无关的特征向量，A 不可对角化。它属于 Jordan 标准型中的非对角块。
7. 充要关系的完整表述
以下三个命题等价：
矩阵 A 可对角化；A 有 n 个线性无关的特征向量；对每个特征值 λᵢ，其几何重数等于代数重数。
这一结论构成了线性代数中矩阵对角化理论的核心骨架，广泛应用于主成分分析（PCA）、马尔可夫链稳态分析、量子力学算符对角化等领域。
8. 技术实践建议：编程验证流程图
def is_diagonalizable(A):
eigenvals, eigenvecs = np.linalg.eig(A)
# 检查特征向量是否构成满秩矩阵
return np.linalg.matrix_rank(eigenvecs) == A.shape[0]
graph TD
A[输入矩阵 A] --> B{计算特征值}
B --> C[对每个特征值 λ_i]
C --> D[计算代数重数]
C --> E[计算 rank(A - λ_i I)]
E --> F[几何重数 = n - rank]
F --> G{几何重数 == 代数重数?}
G -- 所有成立 --> H[可对角化]
G -- 存在不成立 --> I[不可对角化]